Circuitos en corriente alterna. Filtros. Transformadores. Formas de onda no sinusoidales

Sinusoides y fasores

Para simplificar las operaciones con sinusoides se utilizan los fasores. Un fasor es un número complejo que representa una sinusoide \(x(t) = A \ \cos{(\omega t + \Phi)}\).

Números complejo

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota \( a={\text{Re}}(z)\) \( a={\text{Re}}(z)\); el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota \( b={\text{Im}}(z)\) \( b={\text{Im}}(z) \)

$$z = x + jy \\ x = \text{Re} [z] \qquad y = \text{Im} [z]$$

Los número complejos se pueden expresar en su forma trigonométrica, pues (a, b) definen unas coordenadas en el plano complejo. Si r y \(\theta\) son las coordenadas polares del punto (x, y) (que corresponde a un número complejo no nulo z = x + jy ), es decir \(x = r \ \cos{\theta}\), \(y = r \ \sin{\theta}\) , el número \(z \neq 0\) puede escribirse:

$$z = r(\cos{\theta} + j \sin{\theta})$$

Si \(z = 0 \ , \ \theta\) es indefinido.

El número positivo \(r = \lvert z \lvert = + \sqrt{x^2 + y^2}\) es la longitud del vector correspondiente a z.

El número \(\theta\) (que puede calcularse mediante la ecuación \(\tan{\theta} = \frac{y}{v}\) ) se llama argumento de z y escribimos \(\theta = arg \ z\). Por tanto arg z denota un ángulo, en radianes, que forma el vector que representa z con el eje real positivo.

Fórmula de Euler

$$e^{j\theta} = \cos{\theta} + j\sin{\theta}$$

Con lo que un número z en su forma exponencial:

$$z = r(\cos{\theta} + j \sin{\theta}) = r e^{j \theta}$$

Fasores

Si tenemos una onda sinusoidal, el fasor que la representa será:

$$x(t) = A_m \sin{(\omega t + \phi)}$$ $$x(t) = \text{Im} [A_m(\cos{(\omega t + \phi)} + j \sin{(\omega t + \phi)})] \\ = \text{Im} [A_m e^{j(\omega t + \phi)}] = \text{Im} [A_m e^{j \phi} e^{j \omega t}]$$

Por tanto el fasor que representa esta sinusoide es de la forma siguiente:

$$X = A_m e^{j \phi}$$

Por tanto x(t) será de la forma:

$$x(t) = \text{Im} [X e^{j \omega t}]$$

Por tanto un faso solo tiene información de su fase y de su amplitud. No tiene en cuenta la frecuencia con la que oscila la onda.

Para recuperar la onda que representa un fasor:

$$x(t) = \text{Im} [X e^{j \omega t}] = \text{Im} [A_m e^{j \phi} e^{j \omega t}] = A_m \sin{(\omega t + \phi)}$$

Es trivial decir:

$$x(t) = \text{Re} [A e^{j \omega t}] = A_m \cos{(\omega t + \phi)} \\ y(t) = \text{Im} [A e^{j \omega t}] = A_m \sin{(\omega t + \phi)}$$

Es un generador de corriente se expresaría tal que así:

$$V(t) = V_0 \cos{(\omega t + \phi_v)} = V_0 \cdot \text{Re}[e^{j (\omega t + \phi)}] = \text{Re}[V_0 e^{j\omega t} e^{j \phi)}] \\ \text{Fasor:} \ V = V_0 e^{j \phi} \\ V(t) = \text{Re}[V e^{j \omega t}] \\$$

Por tantos los fasores de V-I:

$$V = V_0 e^{j \phi_V} \qquad I = I_0 e^{j \phi_I}$$

Impedancia

La impedancia (Z) es un término general que se puede aplicar a cualquier elemento (resistencia, bobina, condensador) o conjunto de elementos que opone una resistencia al paso de la corriente alterna por un circuito.

La impedancia (Z) se compone de la suma de la resistencia (R) y si reactancia (X), esto es:

$$Z = \frac{V}{I} \qquad Z = R + jX$$

De igual forma, la admitancia (Y) es la inversa de la impedancia:

$$Y = \frac{I}{V} = \frac{1}{Z} \qquad Y = G + jB$$

La admitancia se compone de la conductancia (G) y de la susceptancia (B).

Resistencia

$$V(t) = R i(t) \\ V(t) = \text{Re} [V e^{jwt}] = R \ \text{Re} [I e^{j \omega t}] \Rightarrow \text{Re} [V e^{jwt}] - R \ \text{Re} [I e^{j \omega t}] = 0 \\ \text{Re} [(V - RI) e^{jwt}] = 0 \ , \forall t \Leftrightarrow (V - RI) = 0 \Rightarrow V = RI$$ $$Z_R = \frac{V}{I} = R$$

Una resistencia no desfasa la corriente respecto de la fase de la tensión

$$V_R = R \cdot I_R \quad \text{y} \quad \phi_V = \phi_i$$

Bobina

$$V(t) = L \frac{d i}{dt} \\ V(t) = \text{Re} [V e^{jwt}] = L \frac{d}{dt} \ \text{Re} [I e^{j \omega t}] = \text{Re} [L I j \omega e^{j \omega t}] \\ \text{Re} [(V - j \omega L I) e^{jwt}] = 0 \ , \forall t \Leftrightarrow (V - j \omega L I) = 0 \Rightarrow V = j \omega L I$$ $$Z_L = \frac{V}{I} = j \omega L$$

La bobina desfasa la corriente \(- \pi /2 \) respecto de la fase de la tensión:

$$V(t) = L \frac{d i}{dt} = \omega L I_L \cos(\omega t + \phi_i) = \omega L I_L \sin(\omega t + \phi_i + 90º) = V_L \sin(\omega t + \phi_V) \\ V_L = j \omega L I_L \quad \text{y} \quad \phi_V = \phi_i + 90º$$

Condensador

$$i(t) = C \frac{d V}{dt} \\ i(t) = \text{Re} [I e^{jwt}] = C \frac{d}{dt} \ \text{Re} [V e^{j \omega t}] = \text{Re} [C V j \omega e^{j \omega t}] \\ \text{Re} [(I - j \omega C V) e^{jwt}] = 0 \ , \forall t \Leftrightarrow (I - j \omega C V) = 0 \Rightarrow I = j \omega C V \Rightarrow V = \frac{I}{j \omega C}$$ $$Z_C = \frac{V}{I} = \frac{1}{j \omega C} = - \frac{j}{\omega C}$$

El condensador desfasa la corriente \(\pi /2 \) respecto de la fase de la tensión:

$$i(t) = C \frac{d V}{dt} = \omega C V_C \cos(\omega t + \phi_V) = \omega C V_C \sin(\omega t + \phi_V + 90º) = I_C \sin(\omega t + \phi_I) \\ V_C = \frac{I_C}{j \omega C} \quad \text{y} \quad \phi_V = \phi_i - 90º$$

Tabla de impedancias

Componente	Z	Y	Relación funcional	Relación funcional en expresión fasorial	Relación entre fases
R	\(R\)	\(\frac{1}{R}\)	\(V(t) = R i(t)\)	\(V = RI, I = V/R\)	\(\phi_v = \phi_i\)
L	\(j \omega L\)	\(\frac{1}{j \omega L}\)	\(V(t) = L \frac{di(t)}{dt}\)	\(V = j \omega L I, I = V / j \omega L\)	\(\phi_V = \phi_I + 90º\)
C	\(\frac{1}{j \omega C}\)	\(j \omega C\)	\(i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}\)	\(V = I/ j \omega C , I = j \omega C V\)	\(\phi_V = \phi_i - 90º\)

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Circuitos resonantes

En un circuito en donde se igualen las reactancias inductivas y capacitivas a una determinada frecuencia tendremos una frecuencia de resonancia que valdrá:

$$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$$

donde f es la frecuencia resonante en hercios, L la autoinducción en herios y C la capacidad en faradios.

Circuito resonante serie

$$\text{Funcion de transferencia} \ H(j \omega) = \frac{\text{Respuesta}}{\text{Excitacion}} = \frac{I}{V_g} = \frac{1}{Z_{eq}} = \frac{1}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}$$

La frecuencia de resonancia estará donde la potencia reactiva media sea nula:

$$Q_{med}(\omega_0) = 0 \Leftrightarrow H(j \omega) \text{es real} \ \Leftrightarrow j \omega L + \frac{1}{j \omega C} = 0 \\ \omega_{0} L = \frac{1}{\omega_0 C} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Por tanto la impedancia Z queda reducida al mínimo dado que se reduce a R, la tensión se reduce al mínimo y la intensidad es máxima:

$$H(\omega_0) = \frac{1}{R} \Rightarrow I(\omega_0) = \frac{V_g}{R}$$

En resumen, si la frecuencia es baja, el condensador se opone más; habrá un efecto de reactancia capacitiva. Si aumentamos la frecuencia llegan a igualarse la reactancia capacitiva y la inductancia, haciendose la impedancia mínima. Coincide con la frecuencia de resonancia \(\omega_0\). El circuito resuena. La impednacia se reduce a la resistencia R y entonces la intensidad es máxima.

Circuito resonante paralelo

$$H(j \omega ) = \frac{\text{Respuesta}}{\text{Excitacion}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C + \frac{1}{j \omega L}} \\ j \omega C + \frac{1}{j \omega L} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ Z(\omega_0) = R \\ H(\omega_0) = R \Rightarrow V(\omega_0) = I_g R$$

Ocurre al contrario que en el circuito resonante serie. La impedancia tiende a infinito, la corriente es muy grande.

Algunas características de los circuitos resonantes

La anchura de banda (B) o banda de paso de un circuito resonante es el número de ciclos a un lado y a otro de la frecuencia de resonancia que prácticamente proporciona la misma corriente.

El factor de calidad (Q) es la relación que hay entre la fecuencia de resonancia (\(F_{res}\)) y su ancho de banda (B):

$$Q = \frac{F_{res}}{B}$$

Para los circuitos resonante serie y paralelo, se convierte en:

$$Q = \frac{2 \pi f \ L}{R} = \omega \frac{L}{R} \qquad Q = \frac{R}{2 \pi f \ L} = \frac{R}{\omega L}$$

La curva de un circuito con un Q alto será una curva muy estrecha. Si el Q es bajo, la cima será suave.

Filtros

En el diseño de sistemas de comunicación necesitamos acoplar diferentes circuitos bien sea para transferir una señal o bien para eliminar otras señales indeseadas. Los filtros son redes que permiten o detienen el paso de una determinada frecuencia o grupo de frecuencias (banda de frecuencias). Se dividen en dos tipos:

• Filtro pasivo: son aquellos tipos de filtros formados por combinaciones serie o parelelo de elementos pasivos R, L o C.
• Filtro activo: son aquellos que emplean dispositivos activos, por ejemplo transistores o amplificadores operacionales.

Se pueden clasificar en gran medida los filtros en:

• Filtro paso bajo: permite el paso de frecuencias desde una frecuencia determinada hacia arriba.

• Filtro paso bajo: permite el paso de frecuencias bajas.

• Filtro paso banda: permite el paso de frecuencias dentro de un determinado rango.

Se llama filtro PI a un filtro, o sección de filtro, que tiene uno de sus brazos en serie y dos paralelos.

Se llama filtro en T a un filtro, o secciónon de filtro, que tiene uno de sus brazos en serie y otro en parelelo y cuya configuración se asemeja a la letra T.

Algunos ejemplos de filtros aquí

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